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COMSOL Multiphysics的弱形式用法

本章介绍如何在COMSOL Multiphysics中输入弱形式表达式。

对流－扩散PDE问题

假设我们要在COMSOL Multiphysics的用户界面下输入表达式：



约定：COMSOL Multiphysics将所有的项要放在等号右边。可得到：



区域积分和边界积分可分别在Subdomain Setting 和Boundary Setting对话框下设置。

另外，假设我们已经将系数定义为常数或者表达式：

l         系数c，P，a和f分别由c，P，a和f表示。

l         矢量 的分量由bx，by和bz表示。

在COMSOL Multiphysics中未知函数（因变量）u和试函数v标记如下：

l         未知函数 的标记为u

l         的分量标记为ux，uy和uz。

l         试函数 的标记为u_test。

l         的分量标记为ux_test，uy_test，uz_test

l         只需要输入被积函数，它将被COMSOL Multiphysics自动积分处理。每一个子域的弱形式可以有不同的表达式，COMSOL Multiphysics会将各个子域的弱形式整合起来。

 

输入对流－扩散问题的弱形式：

选择PDE mode下的Weak Form, Subdomain。



在Physics->Subdomain Setting，在Weak Term编辑框中输入：

 

边界设定，Physics->Boundary Setting，Weak Term编辑框中输入：



 

COMSOL Multiphysics将边界设置和子域设置分开，因为子域和边界上可以设置不同的数值积分算法。

弱项

如果想要扩展内建的经典PDE模板或者物理应用模式（比如传热），也可以在Physics->Equation System中对应的对话框中输入相同的表达式。

 

弱形式方程会自动添加在控制方程中。（通过设置所有的PDE或材料参数为0，选择齐次Neumann边界（流量=0），可以去掉应用模式自动创建的弱形式。）

Dirichlet或者固定边界，在Boundary setting对话框中的constr编辑框输入弱形式，COMSOL Multiphysics会添加相应的Lagrange乘子（参见用户手册中的边界条件章节）。

结构力学PDE问题

静态结构力学的基本方程是Navier方程：



边界条件：



对流－扩散方程中的标量项现在全部成了矢量和张量，Navier方程的弱形式为：



约定标记如下：

l         矢量u的分量：u，v和w。

l         位移矢量梯度的分量：ux，uy，uz，vx，vy，vz，wx，wy，wz。

l         试位移矢量v的分量：u_test，v_test，w_test。

l         试位移矢量梯度的分量：ux_test，uy_test，uz_test，vx_test，vy_test，vz_test，wx_test，wy_test，wz_test。

l         弹性张量的分量：c11，c12，c13，c14，c15，c16，c22，c23，c24，c25，c26，c33，c34，c35，c36，c44，c45，c46，c55，c56，c66

l         体力矢量F的分量：Fx，Fy，Fz。

l         边界面力矢量P的分量：Px，Py，Pz。

在子域内，弱形式输入为：



其中



这些表达式定义了应变分量（ex，ey，...）和应力分量（sx，sy，...）。

后面带有_test后缀的，COMSOL Multiphysics都会和上式一样建立相应的试函数和试函数梯度的表达式。比如，exy_test等效于0.5*(uy_test+vx_test)。另一种方式是test()，其中test(xy)表示0.5*(test(uy)+test(vx))，也就相当于0.5*(uy_test+vx_test)。

对于其他一些张量表述如有疑问，可以参考COMSOL Multiphysics 中的Anisotropic Structural Analysis 的Matrix Notation 。

如果想更直观的表述弱形式，我们可以用原始定义代替变量，最后变成：

-ux_test*(c11*ux+c12*vy+c13*wz+c14*(uy+vx)+c15*(vz+wy)+c16*(uz+wx)-vy_test*(c12*ux+...

对于各向同性体，其实cij就是杨式模量 和泊松比 的简单函数。详情参考COMSOL Multiphysics文档。

在边界上，对于载荷类边界条件，弱形式可以在weak编辑框中写成标量的形式：

Px*u_test+Py*v_test+Pz*w_test

如果采用固定边界，我们必须在其中一个constr编辑框中输入相应的表达式。

对于多物理场仿真，约束和载荷在weak和constr中的形式非常重要，尤其是采用弱约束的时候。更多详情可以参考COMSOL Multiphysics文档以及和Lagrange乘子相关的技术文档。

尽管弱形式是一个标量表达式，但是COMSOL Multiphysics中，弱形式有和PDE系统一样多的未知量需要文本输入。原因在于不同的多物理场问题可能需要不同的有限元分析类型和保证其数值稳定型的积分算法。对于3D结构分析，弱形式中有三个文本输入框。但是，在离散之前，采用了同样的有限元单元和积分类型进行合并，这样就可以选择不同的弱形式进行操作。例如你可以在第一个域内选择弱形式，而其他的域内设置为空白。

对于流动问题的Navier-stokes方程，情况又稍微有些不同。和未知的速度场相比，未知的压力采用一个低阶有限元来离散。这种情况下，不能将所有的弱项全部在同一个弱域内输入。为了保证数值稳定型，必须依靠混阶有限元(mixed finite element)。混阶有限元并不是COMSOL Multiphysics特别制定，而是数值算法所需要的。