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怎样计算对时间或空间的积分？如果想在模型中引用这些积分值，该怎么做？这是COMSOL用户的常见问题，因此在COMSOL知识库中有专门的词条与之对应。 

解决方法

1.    积分值计算
a)     空间积分
当模型计算完毕，计算积分值最方便的方法是在Result / Derived Values上右击并选择Integration，并根据几何维度选择是对体（Volume），面（Surface）还是线（Line）进行积分。


在设定（Settings）窗口中选中积分区域，表达式（Expression）中输入或选择待积分变量，并点击运算（Evaluate）按钮。结果将显示在结果（Result）窗口中。

b)     时间积分
在帮助文档Help-COMSOL Multiphysics / Global and Local Definitions / Operators, Functions, and Variables Reference / Special Operators中列出了COMSOL中的各类算子，其中包括时间积分算子timeint(t1,t2,expr)，可以将表达式expr在时间段t1至t2之间进行积分。此算子可以应用在绘图或派生值（Derived Values）中可填写表达式的区域。

顺道提一下时间平均算子timeavg(t1,t2,expr)，它可以在t1到t2时间段内对表达式求时间平均值。

举例来说，如果在后处理中的表面图（surface plot）的表达式（Expression）中输入timeavg(2,5,T)，那么绘图结果将显示出面上各点温度在2秒到5秒之间的局部平均值。你也可以采用表达式timeint(0,t,T)来绘制在某个空间点上变量积分随时间变化的趋势。

2.    积分的灵活引用

a)     空间积分
当需要把空间积分的结果灵活定义在模型中时，你可以通过定义一个积分耦合算子来实现（Definitions / Model Couplings / Integration）。定义积分算子intop1之后，用intop1(expr)可以求出表达式expr在算子所定义的域，面，边或点上的积分。
模型库中有许多运用积分耦合算子的例子，比如流体阀案例（COMSOL Multiphysics / Fluid Dynamics / Fluid Valve）。

流体阀入口及出口流量随时间的变化

b)     时间积分
算子timeint和timeavg只能作用于后处理结果运算，如果你需要在模型里定义一个时变的积分，比如说需要引入一个新的相关变量I，它是变量u的时间积分，如下：

而I对时间的微分由如下常微分公式定义：

根据具体需要，可以建立针对某个点或是全局标量的积分（Global ODE/Point ODE），或是场变量在体/面/边上的分布积分（Domain, Boundary, Edge ODE）。
模型库中的典型的案例是比例微分控制器模型（COMSOL Multiphysics / Multidisciplinary Models / PID Control）

比例微分控制器中的流速及控制端入口流量

问题与解答专栏

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