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COMSOL Multiphysics弱形式入门  之二

弹性静力学PDE及其弹性能量方程

在静力结构分析问题中，我们需要求解的是Navier方程

其中σ是应力张量，F是体力，比如重力等。如果不习惯用张量的形式，你也可以将张量展开写成矩阵形式。这个方程表示了力（或者等效力）的平衡，实际上是三个方程的合并形式——3D中每个坐标方向有一个方程。

       计算区域记为，其边界记为。

       应力张量和应变张量之间的关系称为本构关系，线弹性本构一般遵循胡克HOOK定律

 

其中是弹性张量，这个关系式说明材料的行为实际上和弹簧差不多（前提是线弹性）。

       最后，我们可以将应变矢量和位移的关系表述出来

这里u指的是位移矢量u=(u,v,w)，其定义就是变形体上的材料点和未变形时候的位移差。

       总结以上所有的方程，我们得到了一个二阶PDE方程（Navier方程），

       需要一个边界条件来求解，

其中n是表面的法矢，P是边界上的面力或牵引力。后面会介绍更多边界条件。

       这个PDE方程的弱形式为，

其中v=称为试函数。注意，尽管Navier方程是一个矢量表达式，但是上面的表达式是一个标量形式。下面介绍如何去推导以及理解弱形式。

弹性势能

       在结构分析中，PDE方程及其弱形式的表达式都不太常见，相反，能量最小化形式因为其直观的表达形式用的较多。这类问题的能量积分形式对应于总势能的最小化，即对象中存储的弹性能。

       总弹性能是一个标量，可以写成：

弹性能表达式同样适用于非线性问题。在这些表达式中，我们假设体力F为零，并忽略了边界效应。这些影响可以在以后引入。积分的意义是每个体积微元的内能总和，其中应力张量单位是Pa，微元体上的应变没有单位，dV单位是体积，因此积分出来的单位应该是N·m。

       如果问题是线弹性的，则可以显式的写为：

       利用下面的通用公式：

用应变张量替换上式中的标量变量，弹性张量替换上标量常量。

联立上面的式子得到：

我们用代替来配合COMSOL Multiphysics手册中的标记方式。再提醒一次，如果你不习惯用张量，可以将张量看成是一个3×3的矩阵，点乘是一种张量的运算符号，弹性张量是一个4阶张量（看上去就像4维矩阵）。更多的标记方法可以参考COMSOL Multiphysics 的Anisotropic Structural Analysis 中的Matrix Notation。

       弹性能积分形式下的单位说明：

最终给出总的积分单位是N·m――能量。

       的表达式就是我们通常说的能量泛函，即位移矢量u（或实际上是u的梯度）的泛函。这种函数的函数，而不是坐标的函数，通常被称为泛函，比单元微积分和多元微积分更加抽象。

       与积分类似，我们可以说就是函数的泛函：

这好比是一个2D的变量x，y的二元函数：

其中x＝，，。

采用这样的类比是因为在后面我们会看到矩阵A与有限元的刚度矩阵比较类似。

我们要说明一下函数和泛函的一些区别，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系，现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。函数概念被赋予了更为一般的意义，通俗解释泛函指的就是“函数的函数”。在这里定义域为，泛函可以在整个定义域内进行微分积分等操作。

泛函的变量是函数，这个函数也是有容许空间的。如果函数u可以变化，可能会产生一些不符合物理规则的一些现象，例如结构的刚性位移等。比如一个对u的基本约束就是材料不能穿越本身。

在有限元分析中，泛函一般是某种能量积分，比如弹性能。对于其他的物理场，可能是其他的能量积分，或者是一种等效于能量的标量也可以。至于积分区域，一般由分析对象的CAD几何区域所确定。