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泛函极小值

泛函极值的概念借用了微积分中的不少方法。本节首先会介绍函数微积分的求极值方法，接下来，我们会借用有限元中常用的术语和标注方法来推导我们熟悉的结果。这个过程可以被看作是微积分方法的一种推广。

考虑一个多元微积分函数f，我们要求最小值：

寻找x使得f(x) 最小化

这里x是一个矢量，或者点的坐标。通过微积分我们知道，这个时候首先必须求函数f的梯度。将梯度的设置为0，我们可得到一个非线性方程组。求解方程，我们可以得到一系列的坐标点x，如果在其中某点处的二阶倒数(一般称为Hessian矩阵)为正(或者说有正的特征值)，就说这点就是我们要求的极小点，就好像该点是整个函数的一个谷底一样。

利用Taylor展开的观点，假设已知一个最小值x，我们可以在上面施加一个小的扰动，由Taylor展开可得：

这里H就是前面所说的Hessian矩阵。现在我们用其他的方法来说明函数f在x最小。首先，假设x是一个极值点，当添加了一个 后，f对于其一阶值不改变。换句话说，如果我们在x上添加一个 来扰动f，其一阶Taylor级数应该为0。这个条件应该对每个方向都是成立的，否则该点就不是极值点了。如果上式第二项为0：

对于任意小的都成立，也就是：

我们这里只是用一个稍微有点不同的方法得到了一个同样的结果。

但是，这只是给了我们一个极值点的信息，如果要确定其是最小极值点，必须保证第三项（二阶项）对于任意 都为正：

只有当H的特征值都为正时，上式成立（参考线性代数）。有可能会遇到二阶项也总为0，这个时候我们必须借助更高阶项来判断极值点。

       下面是函数f的一个特例： 

       二次多项式：

其中A是对称矩阵。如果我们应用Taylor展开，可得到：

或者

这里零阶，一阶和二级项都在独立的中括号内。为了得到一阶变分，矩阵A必须是对称的。

极值的条件成了：

对于任意小 都必须成立，则上式成为：

这里我们对矩阵进行了转置，而且利用了矩阵A的对称性，即 。

极小值的条件也就是矩阵A必须是一个正定矩阵，如果矩阵A是负定矩阵（只有负特征值），则得到极大值。如果A是不确定的（特征值有正有负），则极值可能是一个鞍点，既不是极大值，也不是极小值。如果矩阵A是对称的，而且正定，则函数f是超椭圆的。在2D中，超椭圆就是椭圆。二次多项式的几何特征影响经典的PDE方程和有限问题的分类。当利用有限元方法去离散一个椭圆的PDE问题时候，得到一个对称矩阵（刚度矩阵）的线性代数系统。这样的问题一般等效于最小能量问题。