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弹性静力学问题变分

我们将通过两个步骤来介绍最小能量法理论。首先粗略说明，让大家熟悉基本概念；接下来考虑细节。还是以线性静态问题为例，因为这是所有有限元理论都会提到的，从而更容易进行比较。

理论概述

让我们回到线弹性问题的弹性能泛函表达式：

这里的位移矢量u和前面讲的微积分中的点矢量x的角色类似。

       要寻找能量泛函的最小值，我们首先必须得在u上施加一个扰动：

上式中两个中间项实质上是一样的（因为c的对称性），所以我们可以写成：

将上式和多元函数表达式对比，我们发现寻找极值点就是找一个使二次项为零的u：

其中是任意的。

如果我们要寻找的是极小点，则还必须有：

第二项就是泛函的一阶微分：

第三项成为泛函的二级微分：

和前面一样，为了寻找极小点，我们必须保证对于任意第一阶微分为零，二阶微分为正。这种寻找最小势能函数的方法也可以称作虚功原理。

另外还有一种方法就是初始的时候将扰动写成，这时对于任意可取的，其能量函数写成。回到微积分的基本概念，去寻找W对于的极值点：

如果我们将它看成是对于的Taylor展开，就可以找出其一阶导数（对于极值点必须为零），由于是任意可取的，我们可以得到和前面相同的结果。

小结

上面的过程省略很多推导步骤，如果大家对推导有兴趣，可以试着自己推导。我们要说明一下的是：

1、  变量（而不是它的梯度）必须是很小而且是任意的。

2、  这里没有考虑边界条件和体力，比如重力等等。我们前面所讨论的问题局限于一个没有任何约束和载荷的边界条件的区域上。

3、  一般来说的限制比多元微积分中宽松。在泛函中，只要是在容许的范围内即可，也就是必须和物理位移场相对应。理解这个意思对理解有限元弱形式非常重要。

考虑边界条件和体力

       如前面所讲，弹性能的泛函形式是不完整的，因为它没有加上相应的边界条件和载荷。弹性能的单位是，也就是力乘上位移。在边界上，我们一般施加面力，或者指定位移，单位为。一般来说，我们希望附加形式是“面力乘上长度”。同样的方式可以对体力进行处理F。

       在数学上，结构场的边界条件分为两类。第一类直接定义边界上的力：

其中第一项由定义域内的方程所确定，第二项称为弹簧常数q，等式右边是面力g。这种边界条件就是我们通常说得流量或者Nuemann边界条件。

第二那边界条件就是 

定义一个固定的或者Dirichlet边界条件。如果h是矩阵的形式，r就是定义了边界上的指定位移。固定边界条件不能直接加入泛函中去，但是可以通过反力间接加上去。当指定位移边界时，可以描述一个反力（），也就是弹性体可以在固定处保持不变。反力就是我们这里用到的Lagrange乘子，通过添加反力到力作用处的边界，可以忽略到固定边界类型。这时候我们可以形成统一的边界条件：

这里R是原始的固定边界，是需要计算的反力。在前面的简化形式中，和都是常数，所以上式可以变化为：

       记住，方程中的每一项都是矢量，表示各个方向的面力。为了得到所做的功（能量），必须点乘上位移u。

       通过合并一些系数项，将外力写成，可简化表达式，这时边界条件可以写成：

       对于其他物理场，可能P代表边界上的源项。

       注意到上式和Navier方程非常接近：

       将能量泛函展开：

关键推导

这个时候，我们又要在u上添加上，可得：

零阶项就是泛函本身，第一阶项是：

这个方程是非常重要的一项。接下来我们详细介绍。

从前面的讨论可知，我们应该重新组合多项式，保证带有的被积函数成为一项。如果可以做到，因为是任意的（事实上必须是在容许范围内），我们知道这一项必须为零。这是我们能找到极值点的唯一方法。右边第一项需要进一步处理得到我们需要的形式。

       第一项我们可以根据Green公式（有时候可能采用的是Stokes原理）进行分部积分：

利用c的对称性，我们可以得到：

利用Green公式得到：

将体积项和边界项合并起来：

确定极值点，必须有：

上式应该对于任何都成立。因此体积项必须有：

边界项上有：

现在我们又回到PDE问题上了，通过能量最小化原理又重新推回到了PDE形式上！这也是说明最小能量化和PDE形式本质上是统一的一个数学证明。

弱形式

那么，到底什么是弱形式呢？Navier方程的弱形式实际上已经在前面的推导过程中出现过了，即一阶变分的原形式：

如果我们回到COMSOL Multiphysics的文档（或者是关于有限元和弱形式的书籍中），会发现所谓的试函数相当于扰动，