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弹性静力学PDE方程的弱形式

为了更好的理解弱形式，我们必须丢弃前面讨论的能量最小化原理，转向一种更加抽象的方法。弱形式之所以比能量最小化原理更强大，是因为它还可以应用到一些没有得到较好的能量定义的问题中。

首先我们考虑弹性静力学的PDE方程

边界条件是：

抽象的过程如下：乘上容许范围内的试函数v，在感兴趣的域内积分可得：

对左侧利用Green公式进行分部积分：

应用PDE方程的边界条件，可以得到：

整理可得：

这就是PDE方程的弱形式。如果在积分区域内对于试函数都是有效的，则上式和PDE方程是等效的。PDE方程的解称为强解，而弱形式的解称为弱解。二者唯一的区别是弱形式对于积分参数的连续性要求比PDE形式低。由于变形梯度和弹性张量在弱形式里面都不需要微分，所以对函数连续性要求没有那么严格，而在PDE形式中，所有的变量都处在散度的算子下，这要求这些变量必须是可微的。在弱形式中对于可微的要求放松了（一阶）。

       同时，注意到弱形式和前面的一阶变分形式保持了一致，弱形式也可以作为虚功原理的一种推广。只是虚功原理中的位移换成了更加抽象的试函数。如果弱形式解和能量最小化原理不一致的时候，极值点变成了鞍点。也就是，在弱形式中，仍可以将试函数理解为一种推广了的虚位移。