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一般性问题的弱形式

正如前面所提到的，弱形式只是PDE方程的一种推广形式，它对变量的连续性要求比较低。那么能量方法呢？如果有一个定义好了的能量来最小化，那么能量法和弱形式是一致的。但是，在下列情形下，弱形式更具有适用性：假如PDE方程没有相对应的能量可以进行最小化。在这种情况下，弱形式仍然是适用的。由于弱形式对解的要求较低，所以说弱形式比PDE和能量最小化适用范围更广泛。

我们将给出一个没有对应能量最小化的PDE的例子。

对流－扩散PDE问题

对流－扩散PDE问题没有与之相对应的可最小化的能量：

这里c是扩散系数，是对流系数，α是反应/吸收系数，是源项。变量是标量函数，代表浓度（在COMSOL Multiphysics手册中的Convection-Diffusion模块中，浓度是用变量c表示，扩散系数用D表示）。

在这里我们考虑Neumann边界：

所有困难将集中在刚度K的提取上，主要是对u和Lagrange乘子的线性表达式的集成。

为了得到弱形式，将PDE方程乘以一个试函数v，积分：

这里的试函数v是一个标量函数。

将第一项分部积分，并将所有的项都移到左边，可得到：

加上边界条件，得到：

这就是对流－扩散PDE方程的弱形式。

这个弱形式不能像前面一阶变分那样进行重排。因为他的对流项，

使得整个系数无法重排。具体说来，解函数u和试函数v必须在弱形式中的形式保持一致才能和能量泛函的形式保持一致。但是，在对流项中，u前面带有梯度乘子，而试函数前面却没有任何微分算子的。没有什么分部积分可以改变这种形式了。当然，我们也可以看到，实际上弱形式的解和PDE形式的解是保持一致的。

对流项非对称的行为通过数值离散扩展到有限元刚度矩阵上：和能量最小化保持一致的弱形式可以推导出一个对称的刚度矩阵，但是对流－扩散方程推导出来的却是一个非对称的矩阵。

在COMSOL Multiphysics中应用弱形式用户界面的时候，可以输入任意的表达式，包括未知函数u和试函数v的零阶和一阶导数。你所键入的是弱形式积分中的微分项。