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抽象和几何解释

为什么有限元可以解决问题，它是如何解决问题的？前面的讨论中可以找到一些答案。为了有一个更清晰的答案，我们需要了解一些更多的泛函的概念。我们将发现有限元方法通过一种优化方法将解投影到一个有限维函数空间来求解。

标量积

为了得到有限元方法的几何解释，或脑海中的意象，我们需要熟悉标量积的概念。在线性代数中，我们知道两个矢量f和g的标量积为

这里的矢量f和g属于3维矢量空间。标量积可以推广到任意维N，

标量积有时也称做内积。

如果两个矢量正交，

一个矢量f可以通过标量积投影到另一个矢量g

其中f_p是与g平等的投影矢量：

矢量差

与g正交：

投影矢量的唯一性特征是原始和投影矢量之间的差与它所投影的矢量正交。如果需要找到在方向g上与f最近的矢量，f_p就是我们的答案。矢量e可以看作是关于f到f_p之间的近似误差。换句话说，误差矢量e与矢量g正交。后面在对有限元进行几何解释时将用到这个结论。但首先我们得介绍一些泛函分析的概念。

与矢量不同，泛函分析讲的是函数，它们必须属于无限维的矢量空间。我们可以积分形式定义一个无限维矢量空间（函数空间）中的标量积：

如果两个函数正交，则有

进一步将标量积的概念推广，并且考虑包含函数梯度的被积函数，

下标1和2用来说明上面是两种不同的标量积。

Hilbert空间

如果对于一个标量积，我们只考虑那些与自身进行的标量积（积分）有一个有限值的函数u，

我们说这些函数属于一个确定的函数类，或函数空间。由标量积和定义域Ω组成的函数空间就被称为Hilbert空间。

对应于上面的标量积1的Hilbert空间通常标记为L₂，与标量积2对应的Hilbert空间常称为H¹。通常空间L₂中的函数比H¹中的多，因为H¹中的函数自动地存在于L₂中，反之则不一定。我们也可以将这种现象称为H¹是L₂的一个子空间，或

有限元方法的抽象形式

现在让我们考虑PDE问题[3]：

在域Ω中，边界条件为。这是对流－扩散方程的一种特例，其中，。通过分部积分，表明当试函数选择成在边界上具有相同的边界条件时，弱形式中的边界项为0。得到弱形式为：

其中包含前面提到的两种标量积，可改写为：

找到，使得对于所有属于相配的Hilbert空间中的，有：

这里的相配的空间是H¹，且在边界上。解函数u也必须属于这个空间。注意，对于前面提到的弱形式，我们可以很自由地添加不同的标量积，因为每个积的结果是实数或虚数。

现在我们选择前面讨论的基函数的和（线性组合）来近似u和，近似解被称作和。这些函数属于Hilbert空间，可称为，由线性基函数扩展而来。的空间维数为N（基函数的数目）。此外，是H¹的子空间，

换句话说，如果函数属于，则它自动地属于H¹。空间H¹是一个大得多的空间，因为它是无限维的。有限的基函数不可能扩散成属于H¹的所有函数。

弱形式的有限元现在变成了：

对于中的所有，在中找到，使得

现在我们对有限元方法在函数空间的作为一个确定的投影的几何解释有了更深入的了解。最后，在原始的弱形式中：

用代替。这是合理的，因为在H¹中，而在中，由于是H¹的子空间，因此也是在H¹中，

现在从弱形式中减去有限元解，得到：

或

即离散误差：

与所有的中的正交。也就是说，有限元解是真实解在属于H¹的有限维子空间的投影。最终，我们得到了关于有限元方法的几何解释，

对于给定的网格，有限元解是在函数空间中关于标量积最接近真实解的解。