静态电流传导和能量的生成 在静态导电问题中，PDE方程由最基本的保守形式开始：
其中J是电流密度。 材料（或本构）模型采用欧姆Ohm定律：
其中E是电场，  是电导率。另外，已知：
其中  是静电势，综合以上式子得到
在COMSOL Multiphysics中，这就是所谓的Conductive Media DC方程。 电阻产生的热能 稳态电流的能量问题是在电导体中的电阻热
其中J表示电流强度，E代表电场强度，  是一个二阶电导张量(3×3)。如果导体是金属，电导张量一般是一个对角矩阵，如果是晶体，情况就复杂多了。尽量减少电阻产生的热量，也就是减少热损耗，是我们要研究的一个最小值问题。 如果问题是线性，则积分可以显式地写成：
因为  ，其中V是电势，可以得到：
将这个式子与结构力学中的式子进行对比，发现他们非常相似。  的梯度对应于位移梯度，电导率张量 对应于弹性张量 。在稳态电流和结构力学的计算过程中，张量形式都可以改写为矩阵形式。传热PDE方程和能量形式 对于稳态传热问题，PDE形式为：
其中T是温度，k是热传导系数，Q是空间分布的热源。 热能 基于传热方程的典型泛函为：
其中T是温度，k是热传导系数张量（3×3）。 泛函极小值 泛函极值的概念借用了微积分中的不少方法。本节首先会介绍函数微积分的求极值方法，接下来，我们会借用有限元中常用的术语和标注方法来推导我们熟悉的结果。这个过程可以被看作是微积分方法的一种推广。 考虑一个多元微积分函数f，我们要求最小值： 寻找x使得f(x) 最小化 这里x是一个矢量，或者点的坐标。通过微积分我们知道，这个时候首先必须求函数f的梯度。将梯度的设置为0，我们可得到一个非线性方程组。求解方程，我们可以得到一系列的坐标点x，如果在其中某点处的二阶倒数(一般称为Hessian矩阵)为正(或者说有正的特征值)，就说这点就是我们要求的极小点，就好像该点是整个函数的一个谷底一样。 利用Taylor展开的观点，假设已知一个最小值x，我们可以在上面施加一个小的扰动，由Taylor展开可得：
这里H就是前面所说的Hessian矩阵。现在我们用其他的方法来说明函数f在x最小。首先，假设x是一个极值点，当添加了一个  后，f对于其一阶值不改变。换句话说，如果我们在x上添加一个 来扰动f，其一阶Taylor级数应该为0。这个条件应该对每个方向都是成立的，否则该点就不是极值点了。如果上式第二项为0：
对于任意小的  都成立，也就是：
我们这里只是用一个稍微有点不同的方法得到了一个同样的结果。 但是，这只是给了我们一个极值点的信息，如果要确定其是最小极值点，必须保证第三项（二阶项）对于任意  都为正：
只有当H的特征值都为正时，上式成立（参考线性代数）。有可能会遇到二阶项也总为0，这个时候我们必须借助更高阶项来判断极值点。 下面是函数f的一个特例： 二次多项式：
其中A是对称矩阵。如果我们应用Taylor展开，可得到：
或者
这里零阶，一阶和二级项都在独立的中括号内。为了得到一阶变分，矩阵A必须是对称的。 极值的条件成了：
对于任意小  都必须成立，则上式成为：
这里我们对矩阵进行了转置，而且利用了矩阵A的对称性，即  。极小值的条件也就是矩阵A必须是一个正定矩阵，如果矩阵A是负定矩阵（只有负特征值），则得到极大值。如果A是不确定的（特征值有正有负），则极值可能是一个鞍点，既不是极大值，也不是极小值。如果矩阵A是对称的，而且正定，则函数f是超椭圆的。在2D中，超椭圆就是椭圆。二次多项式的几何特征影响经典的PDE方程和有限问题的分类。当利用有限元方法去离散一个椭圆的PDE问题时候，得到一个对称矩阵（刚度矩阵）的线性代数系统。这样的问题一般等效于最小能量问题。 |
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