弱形式 那么,到底什么是弱形式呢?Navier方程的弱形式实际上已经在前面的推导过程中出现过了,即一阶变分的原形式: 如果我们回到COMSOL Multiphysics的文档(或者是关于有限元和弱形式的书籍中),会发现所谓的试函数相当于扰动, 弹性静力学PDE方程的弱形式 为了更好的理解弱形式,我们必须丢弃前面讨论的能量最小化原理,转向一种更加抽象的方法。弱形式之所以比能量最小化原理更强大,是因为它还可以应用到一些没有得到较好的能量定义的问题中。 首先我们考虑弹性静力学的PDE方程 边界条件是: 抽象的过程如下:乘上容许范围内的试函数v,在感兴趣的域内积分可得: 对左侧利用Green公式进行分部积分: 应用PDE方程的边界条件,可以得到: 整理可得: 这就是PDE方程的弱形式。如果在积分区域内对于试函数都是有效的,则上式和PDE方程是等效的。PDE方程的解称为强解,而弱形式的解称为弱解。二者唯一的区别是弱形式对于积分参数的连续性要求比PDE形式低。由于变形梯度和弹性张量在弱形式里面都不需要微分,所以对函数连续性要求没有那么严格,而在PDE形式中,所有的变量都处在散度的算子下,这要求这些变量必须是可微的。在弱形式中对于可微的要求放松了(一阶)。 同时,注意到弱形式和前面的一阶变分形式保持了一致,弱形式也可以作为虚功原理的一种推广。只是虚功原理中的位移换成了更加抽象的试函数。如果弱形式解和能量最小化原理不一致的时候,极值点变成了鞍点。也就是,在弱形式中,仍可以将试函数理解为一种推广了的虚位移。 一般性问题的弱形式 正如前面所提到的,弱形式只是PDE方程的一种推广形式,它对变量的连续性要求比较低。那么能量方法呢?如果有一个定义好了的能量来最小化,那么能量法和弱形式是一致的。但是,在下列情形下,弱形式更具有适用性:假如PDE方程没有相对应的能量可以进行最小化。在这种情况下,弱形式仍然是适用的。由于弱形式对解的要求较低,所以说弱形式比PDE和能量最小化适用范围更广泛。 我们将给出一个没有对应能量最小化的PDE的例子。 对流-扩散PDE问题 对流-扩散PDE问题没有与之相对应的可最小化的能量: 这里c是扩散系数,是对流系数,α是反应/吸收系数,是源项。变量是标量函数,代表浓度(在COMSOL Multiphysics手册中的Convection-Diffusion模块中,浓度是用变量c表示,扩散系数用D表示)。 在这里我们考虑Neumann边界: 所有困难将集中在刚度K的提取上,主要是对u和Lagrange乘子的线性表达式的集成。 为了得到弱形式,将PDE方程乘以一个试函数v,积分: 这里的试函数v是一个标量函数。 将第一项分部积分,并将所有的项都移到左边,可得到: 加上边界条件,得到: 这就是对流-扩散PDE方程的弱形式。 这个弱形式不能像前面一阶变分那样进行重排。因为他的对流项, 使得整个系数无法重排。具体说来,解函数u和试函数v必须在弱形式中的形式保持一致才能和能量泛函的形式保持一致。但是,在对流项中,u前面带有梯度乘子,而试函数前面却没有任何微分算子的。没有什么分部积分可以改变这种形式了。当然,我们也可以看到,实际上弱形式的解和PDE形式的解是保持一致的。 对流项非对称的行为通过数值离散扩展到有限元刚度矩阵上:和能量最小化保持一致的弱形式可以推导出一个对称的刚度矩阵,但是对流-扩散方程推导出来的却是一个非对称的矩阵。 在COMSOL Multiphysics中应用弱形式用户界面的时候,可以输入任意的表达式,包括未知函数u和试函数v的零阶和一阶导数。你所键入的是弱形式积分中的微分项。 |
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