结构力学PDE问题 静态结构力学的基本方程是Navier方程：
边界条件：
对流－扩散方程中的标量项现在全部成了矢量和张量，Navier方程的弱形式为：
约定标记如下： l 矢量u的分量：u，v和w。 l 位移矢量梯度  的分量：ux，uy，uz，vx，vy，vz，wx，wy，wz。l 试位移矢量v的分量：u_test，v_test，w_test。 l 试位移矢量梯度  的分量：ux_test，uy_test，uz_test，vx_test，vy_test，vz_test，wx_test，wy_test，wz_test。l 弹性张量的分量：c11，c12，c13，c14，c15，c16，c22，c23，c24，c25，c26，c33，c34，c35，c36，c44，c45，c46，c55，c56，c66 l 体力矢量F的分量：Fx，Fy，Fz。 l 边界面力矢量P的分量：Px，Py，Pz。 在子域内，弱形式输入为：
其中  这些表达式定义了应变分量（ex，ey，...）和应力分量（sx，sy，...）。 后面带有_test后缀的，COMSOL Multiphysics都会和上式一样建立相应的试函数和试函数梯度的表达式。比如，exy_test等效于0.5*(uy_test+vx_test)。另一种方式是test()，其中test(xy)表示0.5*(test(uy)+test(vx))，也就相当于0.5*(uy_test+vx_test)。 对于其他一些张量表述如有疑问，可以参考COMSOL Multiphysics 中的Anisotropic Structural Analysis 的Matrix Notation 。 如果想更直观的表述弱形式，我们可以用原始定义代替变量，最后变成： -ux_test*(c11*ux+c12*vy+c13*wz+c14*(uy+vx)+c15*(vz+wy)+c16*(uz+wx)-vy_test*(c12*ux+... 对于各向同性体，其实cij就是杨式模量  和泊松比 的简单函数。详情参考COMSOL Multiphysics文档。在边界上，对于载荷类边界条件，弱形式可以在weak编辑框中写成标量的形式： Px*u_test+Py*v_test+Pz*w_test 如果采用固定边界，我们必须在其中一个constr编辑框中输入相应的表达式。 对于多物理场仿真，约束和载荷在weak和constr中的形式非常重要，尤其是采用弱约束的时候。更多详情可以参考COMSOL Multiphysics文档以及和Lagrange乘子相关的技术文档。 尽管弱形式是一个标量表达式，但是COMSOL Multiphysics中，弱形式有和PDE系统一样多的未知量需要文本输入。原因在于不同的多物理场问题可能需要不同的有限元分析类型和保证其数值稳定型的积分算法。对于3D结构分析，弱形式中有三个文本输入框。但是，在离散之前，采用了同样的有限元单元和积分类型进行合并，这样就可以选择不同的弱形式进行操作。例如你可以在第一个域内选择弱形式，而其他的域内设置为空白。 对于流动问题的Navier-stokes方程，情况又稍微有些不同。和未知的速度场相比，未知的压力采用一个低阶有限元来离散。这种情况下，不能将所有的弱项全部在同一个弱域内输入。为了保证数值稳定型，必须依靠混阶有限元(mixed finite element)。混阶有限元并不是COMSOL Multiphysics特别制定，而是数值算法所需要的。 |
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