有限元方法的抽象形式 现在让我们考虑PDE问题[3]：
在域Ω中，边界条件为  。这是对流－扩散方程的一种特例，其中 ， 。通过分部积分，表明当试函数选择成在边界上具有相同的边界条件 时，弱形式中的边界项为0。得到弱形式为：
其中包含前面提到的两种标量积，可改写为： 找到  ，使得对于所有属于相配的Hilbert空间中的 ，有：
这里的相配的空间是H1，且在边界上  。解函数u也必须属于这个空间。注意，对于前面提到的弱形式，我们可以很自由地添加不同的标量积，因为每个积的结果是实数或虚数。现在我们选择前面讨论的基函数的和（线性组合）来近似u和  ，近似解被称作 和 。这些函数属于Hilbert空间，可称为 ，由线性基函数 扩展而来。 的空间维数为N（基函数的数目）。此外， 是H1的子空间，
换句话说，如果函数属于  ，则它自动地属于H1。空间H1是一个大得多的空间，因为它是无限维的。有限的基函数不可能扩散成属于H1的所有函数。弱形式的有限元现在变成了： 对于  中的所有 ，在 中找到 ，使得
现在我们对有限元方法在函数空间的作为一个确定的投影的几何解释有了更深入的了解。最后，在原始的弱形式中：
用  代替 。这是合理的，因为 在H1中，而 在 中，由于 是H1的子空间，因此 也是在H1中，
现在从弱形式中减去有限元解，得到：
或
即离散误差：
与所有的  中的 正交。也就是说，有限元解 是真实解 在属于H1的有限维子空间 的投影。最终，我们得到了关于有限元方法的几何解释，
对于给定的网格，有限元解  是在函数空间 中关于标量积 最接近真实解 的解。参考资料： [1] Zienkiewicz, Taylor, The Finite Element Method: Volume 1-3, Butterworth-Heinemann; 5th edition, 2005 [2] T. J. R. Hughes, The Finite Element Method : Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis, Dover Publications, 2000 [3] C. Johnson, Numerical solution of partial differential equations by the finite element method, Studentliteratur, 1987, ISBN 91-44-25241-2 |
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