有限元方法的抽象形式 现在让我们考虑PDE问题[3]: 在域Ω中,边界条件为 ![]() ![]() ![]() ![]() 其中包含前面提到的两种标量积,可改写为: 找到 ![]() ![]() 这里的相配的空间是H1,且在边界上 ![]() 现在我们选择前面讨论的基函数的和(线性组合)来近似u和 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 换句话说,如果函数属于 ![]() 弱形式的有限元现在变成了: 对于 ![]() ![]() ![]() ![]() 现在我们对有限元方法在函数空间的作为一个确定的投影的几何解释有了更深入的了解。最后,在原始的弱形式中: 用 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 现在从弱形式中减去有限元解,得到: 或 即离散误差: 与所有的 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 对于给定的网格,有限元解 ![]() ![]() ![]() ![]() 参考资料: [1] Zienkiewicz, Taylor, The Finite Element Method: Volume 1-3, Butterworth-Heinemann; 5th edition, 2005 [2] T. J. R. Hughes, The Finite Element Method : Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis, Dover Publications, 2000 [3] C. Johnson, Numerical solution of partial differential equations by the finite element method, Studentliteratur, 1987, ISBN 91-44-25241-2 |
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