| Video Tutorial on Simulating a Gate Valve in Pipe BranchNews | Posted on July 2nd, 2012 by Fanny LittmarckWe’ve been running these “Lunch Time Web Tutorials” over the past couple of months, featuring 45 minutes of solving a particular problem following... |
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| “With the help of the model, we were able to cut our design time by 70%”Share this pageNews | Posted on June 13th, 2012 by Phil KinnaneThis was the sentiment shared by Michele Gosso of Centre Richerche Fiat in Italy. On the forefront of&... |
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| Report from Well Logging Workshop in HoustonShare this pageNews | Posted on May 29th, 2012 by David KanOn the 17th of May, 27 engineers and scientists related to the oil and gas industry gathered in Northwest Houston to learn more about COMSOL&nbs... |
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| COMSOL Releases Version 4.3 TodayShare this pageNews | Posted on May 18th, 2012 by Phil KinnaneYesterday was a big day as we officially released the new version of COMSOL Multiphysics, version 4.3. This will be shipped towards the end of May,&nbs... |
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| 有限元方法的抽象形式现在让我们考虑PDE问题[3]：在域Ω中，边界条件为。这是对流－扩散方程的一种特例，其中，。通过分部积分，表明当试函数选择成在边界上具有相同的边界条件时，弱形式中的边界项为0。得到弱形式为：其中包含前面提到的两种标量积，可改写为：找到，使得对于所有属于相配的Hilbert空间中的，有：这里的相配的空间是H1，且在边界上。解函数u也必须属于这个空间。注意，对于前面提到的弱形式，我们可以很自由地添加不同的标量积，因为每个积的结果是实数或虚数。现在我们选择前面讨论的基函数的和（线性组合）来近似u和，近似解被称作和。这些函数属于Hilbert空间，可称为，由线性基函数扩展而来。的空间维数为N（基函数的数目）。此外，是H1的子空间，换句话说，如果函数属于，则它自动地属于H1。空间H1是一个大得多的空间，因为它是无限维的。有限的基函数不可能扩散成属于H1的所有函数。弱形式的有限元现在变成了：对于中的所有，在中找到，使得现在我们对有限元方法在函数空间的作为一个确定的投影的几何解释有了更深入的了解。最后，在原始的弱形式中：用代替。这是合理的，因为在H1中，而在中，由于是H1的子空间... |
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| 有限元方法本章说明弱形式如何利用有限元方法来进行离散。假设我们需要离散以下扩散问题：这是一个对流－扩散问题的特殊情况，其中，。有限元的基本实现是将整个计算域Ω离散为多个特别简单的形状的小单元，比如2D中的三角形，3D中的四面体等等。相应的网格，例如三角形，由边和节点组成。下一步就是要选择一个比较容易实现的一些近似方法，其中一种比较简单的方法就是将解表示为采用线性多项式插值的所谓基函数的和。基函数的构造方法是指定某个节点为1，而相邻的节点为0，二者之间的值就是从0到1线性变化。这里说的相邻指的是中间有一条边将其连接起来。遍历三角形网格的所有节点（从1到N）。定义节点i的基函数为，也就是在节点i处其值为1，其他点处值为0。注意只是在节点i及其相邻的三角形内不为零。现在假设真实值u可以用基函数的求和来近似描述：参数是在节点i的值。同样，我们可以对试函数进行类似处理：下标h表示离散函数属于由所有三角形边中最长边表示的具有确定的网格尺寸h的网格。由于我们可以任意选择试函数，因此可以将除了j点以外的所有的设置为零，接下来我们将所有的试函数（j＝1,...,N）输入到弱形式中去，每个试函数都可以得到... |
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| 有限元方法本章说明弱形式如何利用有限元方法来进行离散。假设我们需要离散以下扩散问题：这是一个对流－扩散问题的特殊情况，其中，。有限元的基本实现是将整个计算域Ω离散为多个特别简单的形状的小单元，比如2D中的三角形，3D中的四面体等等。相应的网格，例如三角形，由边和节点组成。下一步就是要选择一个比较容易实现的一些近似方法，其中一种比较简单的方法就是将解表示为采用线性多项式插值的所谓基函数的和。基函数的构造方法是指定某个节点为1，而相邻的节点为0，二者之间的值就是从0到1线性变化。这里说的相邻指的是中间有一条边将其连接起来。遍历三角形网格的所有节点（从1到N）。定义节点i的基函数为，也就是在节点i处其值为1，其他点处值为0。注意只是在节点i及其相邻的三角形内不为零。现在假设真实值u可以用基函数的求和来近似描述：参数是在节点i的值。同样，我们可以对试函数进行类似处理：下标h表示离散函数属于由所有三角形边中最长边表示的具有确定的网格尺寸h的网格。由于我们可以任意选择试函数，因此可以将除了j点以外的所有的设置为零，接下来我们将所有的试函数（j＝1,...,N）输入到弱形式中去，每个试函数都可以得到... |
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| 结构力学PDE问题静态结构力学的基本方程是Navier方程：边界条件：对流－扩散方程中的标量项现在全部成了矢量和张量，Navier方程的弱形式为：约定标记如下：l 矢量u的分量：u，v和w。l 位移矢量梯度的分量：ux，uy，uz，vx，vy，vz，wx，wy，wz。l 试位移矢量v的分量：u_test，v_test，w_test。l 试位移矢量梯度的分量：ux_test，uy_test，uz_test，vx_test，vy_test，vz_test，wx_test，wy_test，wz_test。l 弹性张量的分量：c11，c12，c13，c14，c15，c16，c22，c23，c24，c25，c26，c33，c34，c35，c36，c44，c45，c46，c55，c56，c66l 体力矢量F的分量：Fx，Fy，Fz。l 边界面力矢量P的分量：Px，Py，Pz。在子域内，弱形式输入为：其中这些表达式定义了应变分量（ex，ey，...... |
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| COMSOL Multiphysics的弱形式用法本章介绍如何在COMSOL Multiphysics中输入弱形式表达式。对流－扩散PDE问题假设我们要在COMSOL Multiphysics的用户界面下输入表达式：约定：COMSOL Multiphysics将所有的项要放在等号右边。可得到：区域积分和边界积分可分别在Subdomain Setting 和Boundary Setting对话框下设置。另外，假设我们已经将系数定义为常数或者表达式：l 系数c，P，a和f分别由c，P，a和f表示。l 矢量的分量由bx，by和bz表示。在COMSOL Multiphysics中未知函数（因变量）u和试函数v标记如下：l 未知函数的标记为ul 的分量标记为ux，uy和uz。l 试函数的标记为u_test。l 的分量标记为ux_test，uy_test，uz_testl &nb... |
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| 弱形式那么，到底什么是弱形式呢？Navier方程的弱形式实际上已经在前面的推导过程中出现过了，即一阶变分的原形式：如果我们回到COMSOL Multiphysics的文档（或者是关于有限元和弱形式的书籍中），会发现所谓的试函数相当于扰动，弹性静力学PDE方程的弱形式为了更好的理解弱形式，我们必须丢弃前面讨论的能量最小化原理，转向一种更加抽象的方法。弱形式之所以比能量最小化原理更强大，是因为它还可以应用到一些没有得到较好的能量定义的问题中。首先我们考虑弹性静力学的PDE方程边界条件是：抽象的过程如下：乘上容许范围内的试函数v，在感兴趣的域内积分可得：对左侧利用Green公式进行分部积分：应用PDE方程的边界条件，可以得到：整理可得：这就是PDE方程的弱形式。如果在积分区域内对于试函数都是有效的，则上式和PDE方程是等效的。PDE方程的解称为强解，而弱形式的解称为弱解。二者唯一的区别是弱形式对于积分参数的连续性要求比PDE形式低。由于变形梯度和弹性张量在弱形式里面都不需要微分，所以对函数连续性要求没有那么严格，而在PDE形式中，所有的变量都处在散度的算子下，这要求这些变量必须是可... |
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