| COMSOL Multiphysics的弱形式用法本章介绍如何在COMSOL Multiphysics中输入弱形式表达式。对流－扩散PDE问题假设我们要在COMSOL Multiphysics的用户界面下输入表达式：约定：COMSOL Multiphysics将所有的项要放在等号右边。可得到：区域积分和边界积分可分别在Subdomain Setting 和Boundary Setting对话框下设置。另外，假设我们已经将系数定义为常数或者表达式：l 系数c，P，a和f分别由c，P，a和f表示。l 矢量 的分量由bx，by和bz表示。在COMSOL Multiphysics中未知函数（因变量）u和试函数v标记如下：l &n... |
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| 一般性问题的弱形式正如前面所提到的，弱形式只是PDE方程的一种推广形式，它对变量的连续性要求比较低。那么能量方法呢？如果有一个定义好了的能量来最小化，那么能量法和弱形式是一致的。但是，在下列情形下，弱形式更具有适用性：假如PDE方程没有相对应的能量可以进行最小化。在这种情况下，弱形式仍然是适用的。由于弱形式对解的要求较低，所以说弱形式比PDE和能量最小化适用范围更广泛。我们将给出一个没有对应能量最小化的PDE的例子。对流－扩散PDE问题对流－扩散PDE问题没有与之相对应的可最小化的能量：这里c是扩散系数，是对流系数，α是反应/吸收系数，是源项。变量是标量函数，代表浓度（在COMSOL Multiphysics手册中的Convection-Diffusion模块中，浓度是用变量c表示，扩散系数用D表示）。在这里我们考虑Neumann边界：所有困难将集中在刚度K的提取上，主要是对u和Lagrange乘子的线性表达式的集成。为了得到弱形式，将PDE方程乘以一个试函数v，积分：这里的试函数v是一个标量函数。将第一项分部积分，并将所有的项都移到左边，可得到：加上边界条件，得到：这就是对... |
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| 弹性静力学PDE方程的弱形式为了更好的理解弱形式，我们必须丢弃前面讨论的能量最小化原理，转向一种更加抽象的方法。弱形式之所以比能量最小化原理更强大，是因为它还可以应用到一些没有得到较好的能量定义的问题中。首先我们考虑弹性静力学的PDE方程边界条件是：抽象的过程如下：乘上容许范围内的试函数v，在感兴趣的域内积分可得：对左侧利用Green公式进行分部积分：应用PDE方程的边界条件，可以得到：整理可得：这就是PDE方程的弱形式。如果在积分区域内对于试函数都是有效的，则上式和PDE方程是等效的。PDE方程的解称为强解，而弱形式的解称为弱解。二者唯一的区别是弱形式对于积分参数的连续性要求比PDE形式低。由于变形梯度和弹性张量在弱形式里面都不需要微分，所以对函数连续性要求没有那么严格，而在PDE形式中，所有的变量都处在散度的算子下，这要求这些变量必须是可微的。在弱形式中对于可微的要求放松了（一阶）。 同时，注意到弱形式和前面的一阶变分形式保持了一致，弱形式也可以作为虚功原理的一种推广。只是虚功原理中的位移换成了更加抽... |
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| HAMLab(Matlab 7 or higher required)http://sts.bwk.tue.nl/hamlab/ Last update: 2009 JulyPlease read this first: Note that every thing on the webstite is free for research & education. However, if our models have inspired you, please refer to the scientific publication: Schijndel, A.W.M... |
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| 弹性静力学问题变分我们将通过两个步骤来介绍最小能量法理论。首先粗略说明，让大家熟悉基本概念；接下来考虑细节。还是以线性静态问题为例，因为这是所有有限元理论都会提到的，从而更容易进行比较。理论概述让我们回到线弹性问题的弹性能泛函表达式：这里的位移矢量u和前面讲的微积分中的点矢量x的角色类似。 要寻找能量泛函的最小值，我们首先必须得在u上施加一个扰动：上式中两个中间项实质上是一样的（因为c的对称性），所以我们可以写成：将上式和多元函数表达式对比，我们发现寻找极值点就是找一个使二次项为零的u：其中是任意的。如果我们要寻找的是极小点，则还必须有：第二项就是泛函的一阶微分：第三项成为泛函的二级微分：和前面一样，为了寻找极小点，我们必须保证对于任意第一阶微分为零，二阶微分为正。这种寻找最小势能函数的方法也可以称作虚功原理。另外还有一种方法就是初始的时候将扰动写成，这时对于任意可取的，其能量函数写成。回到微积分的基本概念，去寻找W对于的极值点：如果我们将它看成是对于的Taylor展开，就可以找出其一阶导数（对于极值点必... |
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| 泛函极小值泛函极值的概念借用了微积分中的不少方法。本节首先会介绍函数微积分的求极值方法，接下来，我们会借用有限元中常用的术语和标注方法来推导我们熟悉的结果。这个过程可以被看作是微积分方法的一种推广。考虑一个多元微积分函数f，我们要求最小值：寻找x使得f(x) 最小化这里x是一个矢量，或者点的坐标。通过微积分我们知道，这个时候首先必须求函数f的梯度。将梯度的设置为0，我们可得到一个非线性方程组。求解方程，我们可以得到一系列的坐标点x，如果在其中某点处的二阶倒数(一般称为Hessian矩阵)为正(或者说有正的特征值)，就说这点就是我们要求的极小点，就好像该点是整个函数的一个谷底一样。利用Taylor展开的观点，假设已知一个最小值x，我们可以在上面施加一个小的扰动，由Taylor展开可得：这里H就是前面所说的Hessian矩阵。现在我们用其他的方法来说明函数f在x最小。首先，假设x是一个极值点，当添加了一个 后，f对于其一阶值不改变。换句话说，如果我们在x上添加一个 来扰动f，其一阶Taylor级数应该为0。这个条件应该对每个方向都是成立的，否则该点就不是极值点... |
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| COMSOL Multiphysics弱形式入门 之四传热PDE方程和能量形式对于稳态传热问题，PDE形式为：其中T是温度，k是热传导系数，Q是空间分布的热源。热能基于传热方程的典型泛函为：其中T是温度，k是热传导系数张量（3×3）。 |
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| COMSOL Multiphysics弱形式入门 之三静态电流传导和能量的生成静态电流传导和能量的生成在静态导电问题中，PDE方程由最基本的保守形式开始：其中J是电流密度。材料（或本构）模型采用欧姆Ohm定律：其中E是电场，是电导率。另外，已知：其中是静电势，综合以上式子得到在COMSOL Multiphysics中，这就是所谓的Conductive Media DC方程。电阻产生的热能稳态电流的能量问题是在电导体中的电阻热其中J表示电流强度，E代表电场强度，是一个二阶电导张量(3×3)。如果导体是金属，电导张量一般是一个对角矩阵，如果是晶体，情况就复杂多了。 尽量减少电阻产生的热量，也就是减少热损耗，是我们要研究的一个最小值问题。 如果问题是线性，则积分可以显式地写成：因为，其中V是电势，可以得到：将这个式子与结构力学中的式子进行对比，发现他们非常相似。的梯度对... |
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| COMSOL Multiphysics弱形式入门 之二弹性静力学PDE及其弹性能量方程在静力结构分析问题中，我们需要求解的是Navier方程其中σ是应力张量，F是体力，比如重力等。如果不习惯用张量的形式，你也可以将张量展开写成矩阵形式。这个方程表示了力（或者等效力）的平衡，实际上是三个方程的合并形式——3D中每个坐标方向有一个方程。 计算区域记为，其边界记为。 应力张量和应变张量之间的关系称为本构关系，线弹性本构一般遵循胡克HOOK定律 其中是弹性张量，这个关系式说明材料的行为实际上和弹簧差不多（前提是线弹性）。 最后，我们可以将应变矢量和位移的关系表述出来这里u指的是位移矢量u=(u,v,w)，其定义就是变形体上的材料点和未变形时候的位移差。 ... |
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| COMSOL Multiphysics弱形式入门 前言物理问题的描述方式有三种：1、 偏微分方程2、 能量最小化形式3、 弱形式本文希望通过比较浅显的方式来讲解弱形式，使用户更有信心通过COMSOLMultiphysics的弱形式用户界面来求解更多更复杂的问题。COMSOL Multiphysics是唯一的直接使用弱形式来求解问题的软件，通过理解弱形式也能更进一步的理解有限元方法（FEM）以及了解COMSOL Multiphysics的实现方法。本文假定读者没有太多的时间去研究数学细节，但是却想将弱形式快速的应用到实际工程中去。另外，本文也会帮助理解COMSOL Multiphysics文档中常用的到一些术语和标注方法，相关理论可以参考Zienkiewicz[1]，Hughes[2]，以及Johnson [3]等。 为什么必须要理解PDE方程的弱形式？一般情况下，PDE方程都已经内... |
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